Em 1684, três membros da Royal Society, Sir Christopher Wren, Robert Hooke e

Edmond Halley, discutiam sobre se as órbitas elípticas dos planetas poderiam re-

sultar de uma força gravitacional em direcção ao Sol inversamente proporcional ao

quadrado da distância. Halley escreveu:

Hooke diz que tem a solução, mas que a ocultaria durante algum tempo, pa-

ra que outros, por tentarem e falharem, pudessem dar mais valor à desco-

berta quando fosse tornada pública.

Em 1684, Halley perguntou a Newton qual seria a órbita que um corpo teria se

estivesse sob a acção de uma força de lei do inverso do quadrado da distância.

Newton respondeu de imediato que seria uma elipse. Embora não encontrasse

os papéis com a demonstração, disse a Halley que havia resolvido esse problema

quatro anos antes. No entanto, em De Motu apenas se encontra a demonstração

inversa. A demonstração de que as forças, obedecendo ao inverso do quadrado

da distância, implicam órbitas de secções de cónicas, está escrita na Cor.1 da

Prop.13 no Livro 1 do Principia, mas não na sua primeira edição.

Três meses mais tarde Newton envia a Halley uma demonstração da forma das

órbitas quando sujeitas a uma força inversamente proporcional ao quadrado da

distância. Halley persuadiu Newton a escrever o tratamento integral da sua nova

Física. Passado um ano (1687), Newton publicou a obra Philosophiae naturalis

principia mathematica ou, simplesmente, Principia, como é geralmente conhecida.

No livro Principia, Newton enuncia pela primeira vez as três leis do movimento

que são hoje conhecidas como as Leis de Newton e cujo enunciado (como hoje se

aceita) é o seguinte:

1ª Lei (Lei da Inércia) - Um corpo permanece em repouso ou em movimento recti-

líneo e uniforme se sobre ele não actuar qualquer força ou se for nula a resultan-

te das forças que sobre ele actuam;

2ª Lei (Lei Fundamental da Dinâmica) - Uma aceleração é proporcional à força

que actua sobre um corpo sendo a massa do corpo a constante de proporcionalida

de (F=m.a);

3ª Lei (Lei da Acção-Reacção) - Quando um corpo exerce sobre outro uma força,o

segundo exerce sobre o primeiro uma força de igual intensidade mas de sentido

contrário.

A obra Principia é reconhecida como o livro científico de maior impacto que algu-

ma vez foi escrito. Newton analisou o movimento dos corpos com e sem atrito

sob a acção de forças centrípetas. Os resultados foram aplicados a corpos em

órbita, projécteis, pêndulos e corpos em queda livre próximos da Terra.

Demonstrou ainda que os planetas eram atraídos para o Sol com uma força que 

variava com o inverso do quadrado da distância e fez a generalização desta de-

monstração para todos os corpos celestes atraídos uns pelos outros.

O tema central dos Principia era a universalidade da força gravitacional. No livro,

Newton estabelece a Lei da Gravitação Universal que diz que:

... toda a matéria atrai toda a restante matéria com uma força proporcional

 produto das duas massas consideradas e inversamente proporcional ao

ao quadrado da distância entre elas.

e que pode escrever-se sob a forma da equação:

em que m1 e m2 são as massas dos dois corpos que estão a exercer atracção

gravitacional mútua e r é a distância entre os centros dos dois corpos.

Como chegou à Lei propriamente dita, não é muito claro, mas pode tentar-se uma

abordagem provável, a partir da demonstração seguinte.

Newton descobriu que a aceleração centrípeta (aceleração dirigida para o centro

de curvatura) dos corpos era dada por a=v²/r, uma constatação observacional que

já havia sido publicada por Christian Huygens.

Associando esta relação à segunda lei de Newton, obtém-se que um planeta de

massa m, movendo-se em redor do Sol com velocidade v numa circunferência de

raio rserá dada por:

Considerando que a circunferência tem um perímetro 2r, que demora um período

T a ser percorrido, como a velocidade é a distância percorrida por intervalo de

tempo tem-se:

multiplicando e dividindo por r obtém-se:

em que r³/T² é a constante k da 3ª Lei de Kepler.

Assim, para qualquer planeta orbitando o Sol ter-se-ia que a Força gravitacional

exercida pelo Sol seria:

ou seja

em que m é a massa do planeta, r é a distância média do planeta ao Sol e k é a

constante de Kepler para o Sistema Solar.

Multipliquemos e dividamos pela massa do Sol (M). Obtém-se:

Definindo uma constante:

Tem-se:

Como se vê da demonstração, a expressão apenas seria válida para corpos orbi-

tando em torno do Sol pois a constante G inclui a massa do Sol e a constante de

Kepler para planetas orbitando o Sol. Newton deverá ter pensado que provavel-

mente a razão entre a constante de Kepler para qualquer sistema e a massa

do corpo central seria, por si mesma, constante, e terá tentado generalizar para

todos os corpos.

Mas como e porquê?

Reza a lenda que Newton viu uma maçã a cair no seu jardim em Lincolnshire,

e que terá pensado na força atractiva na direcção da Terra. Pensou que a mesma

força que fizera cair a maçã poderia estender-se até à distância da Lua. Conhecia

bem o trabalho de Galileu sobre projécteis e sugeriu que o movimento da Lua po-

deria ser uma extensão natural daquela teoria. Para se entender o que se preten-

de afirmar com isto, considere-se um revólver que dispara um projéctil horizontal-

mente do cimo de uma montanha e imagine-se que cada vez se utiliza mais pól-

voral.

vora

Figura 3 - Trajectória parabólicas de projécteis disparados

horizontalmente com

diferentes velocidades iniciais.

As trajectórias parabólicas vão ficar cada vez mais planas, e se imaginarmos que

a montanha é suficientemente alta para que o atrito possa ser desprezado e o

revólver for suficientemente potente, "eventualmente o ponto de queda será tão

distante que teremos que considerar a curvatura da Terra ao considerar a curva-

tura da trajectória, para determinar o ponto de queda."

De facto, a situação é mais drástica, pois a curvatura da Terra pode significar que

o projéctil de facto nunca chegue ao solo. Isto foi previsto por Newton no livro

Principia através do diagrama seguinte:

Como a órbita da Lua é cerca de 60 vezes o raio da Terra, a relação entre a força

gravitacional sentida por um corpo à superfície da Terra e pela Lua parecem rela-

cionadas pela lei do inverso do quadrado da distância. A constante de gravitação

universal para a Lua orbitando em torno da Terra tomaria a forma

tomando a constante G exactamente o mesmo valor que o obtido anteriormente

para planetas orbitando em torno do Sol. O valor de G aceite foi obtido por medi-

da é 6.67x10^-11 m³kg^-1s^-2 com as unidades apresentadas no SI.